Информационное письмо
Образец оформления статьи
Анкета автора
28.10.2014

Элементы геометрических преобразований и их использование при моделировании в компьютерных технологиях

Мухина Милена Львовна
Доцент Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, г. Нижний Новгород, Российская Федерация
Аннотация: в статье рассматриваются некоторые элементы геометрических преобразований, а именно, группа аффинных преобразований и группа проективных преобразований. Дано понятие и основные требования к геометрической модели объекта. Геометрические преобразования составляют базу в трехмерном моделировании в программном продукте AutoCAD.
Ключевые слова: геометрические преобразования, геометрическая модель, трехмерное моделирование
Электронная версия
Скачать (1.22 Mb)

Геометрическое моделирование есть представление изделия с точки зрения его геометрических свойств. Геометрическая модель (ГМ) занимает важное место в системе автоматизированного проектирования (САПР). ГМ используется при разработке и при изготовлении самого изделия.

Основными требованиями при геометрическом моделировании являются:

  • любая модель, которую можно сконструировать, не должна противоречить реальному объекту (правильность модели);
  • допустимо конструирование модели объекта целиком (мощность модели);
  • возможно вычисление ряда геометрических величин, например, объемов;
  • предусмотрено использование различных функций (разработка серии изделий, расчет конструкций).

Для удовлетворения этих требований необходимо, чтобы модель обладала определенным набором математических свойств, основными из которых являются:

  • однородность, то есть тело должно быть заполнено внутри;
  • конечность, то есть тело должно занимать конечную часть пространства;
  • жесткость, то есть сплошное тело должно сохранять свою форму независимо от положения и ориентации [1]

Методов формирования модели объекта существует множество. Мы в данной работе остановимся на машинном представлении, а именно, на получении ГМ методами геометрических преобразований. Рассмотрим классификацию геометрических преобразований по рис.1 [2]. 

Рис. 1. Структура геометрических преобразований

Рис. 1. Структура геометрических преобразований

 Группа аффинных преобразований. Бесконечно удаленным точкам соответствуют бесконечно удаленные точки.

2.png

2.  Перевод каждой поверхности n-го порядка опять же в некоторую поверхность n-го порядка.

3. Двум параллельным прямым должны соответствовать две параллельные прямые, они должны быть одинаково направлены и равны между собой.

4. Две прямые, переходящие одна в другую при аффинном преобразовании находятся в отношении подобия друг к другу.

5. При аффинном преобразовании объемы тел умножаются на некоторый постоянный множитель 

3.png

Отображение пространства на плоскости посредством параллельного проектирования и преобразования подобия аналитически выражается посредством аффинного преобразования с определителем преобразования равным нулю.

Физически аффинные преобразования характеризуют равномерное растяжение или сжатие по трем взаимно перпендикулярным направлениям

3.png

Аффинное преобразование является комбинацией линейного преобразования, сопровождающемся переносом изображения. Произведение двух аффинных преобразований тоже есть преобразование аффинное.

Преобразования прямой линии. Рассмотрим преобразования сдвига прямой линии отрезка [AB] из подгруппы центроаффинных преобразований.

A [0, 1], B [2, 3] (рис. 1).

4.png

5.png

Операция свига увеличила длину линии и изменила ее положение. Рассматривая прямые AB и A*B* можно показать, что все точки, лежащие на исходной прямой ABпреобразуются на преобразованной прямой A*B*. При этом обеспечиваются взаимно однозначные соответствия между точками на исходной прямой и преобразованной. Таким образом, положение любой прямой линии может быть преобразовано в е положение преобразованием каких-либо двух точек, лежащих на прямой с последующим проведением линий между ними. Матрица [2x2] преобразует пару параллельных линий в другую пару параллельных линий. В этой связи матрица преобразования [2x2] позволяет преобразовать один параллелограмм в другой.

Преобразование плоскостей. Плоская поверхность, ограниченная вершинами многогранника может быть преобразована и деформирована с помощью соотношения матричных операций над векторами положения вершин. В качестве таких возможных операций рассмотрим вращение, отображение и изменение масштаба.

Вращение. Относится к подгруппе движения. Вращение в плоскости XOY осуществляется вокруг оси, перпендикулярно этой плоскости. Например, рассмотрим поворот треугольника ∆ABC вокруг начала координат на угол 900, против часовой стрелки (рис.2).

5.png 

Отображение (рис.3)относится к подгруппе центроаффинных преобразований.

5.png  

Изменение масштаба или гомотетия относится к подгруппе центроаффинных преобразований. Изменение масштаба определяется изменением значения двух членов основной диагонали матрицы преобразования (рис. 4). При этом если значения этих членов (масштабных коэффициентов) равны между собой, то происходит равномерное искажение масштаба. А если не равны – изменение масштаба с искажением.

5.png 

Группа проективных (перспективных) преобразований. Перспективные проекции представляют собой преобразование изображения из трехмерного пространства в двумерное. Вид проекции зависит от расположения центра проецирования. Если этот центр расположен в бесконечности, то такая проекция называется аксонометрической. Перспективные преобразования аналитически определяются тем, что преобразованные координаты x*,y*,z* являются дробно-линейными функциями x, y ,z с одними и теми же знаменателями

5.png 

Перспективные проекции будем представлять, как цепочку перспективного преобразования и преобразования проецирования на ось Z равную нулю. Для удобства изображения будем рассматривать левую часть системы координат. В качестве центра проецирования возьмем точку V (0, 0, Vz), лежащую на оси Z. В качестве центра проецирования возьмем точку V (0, 0, Vz), лежащую на оси Z. В качестве проецируемого объекта отрезок прямой, параллельной оси Y (рис. 5). Определяем точки пересечения лучей, выходящих из центра проецирования и проходящих через точки объекта с плоскостью Z=0. Из подобия получим

5.png 

5.png

Традиционно графические дисциплины преподавалась в высших учебных заведениях, в том числе и в Нижегородском государственном техническом университете им. Р.Е. Алексеева (НГТУ), в «ручной» технологии. Изучение как начертательная геометрии, проекционного черчения, технического рисования проходило с помощью карандаша, чертежного инструмента и листа чертежной бумаги «ватман». В начале 90-х годов прошлого века в НГТУ и его филиалах геометро-графические дисциплины студенты изучают на базе программного продукта AutoCADкомпанииAutodesk. Выбор AutoCADа, как инструментального средства обучения, вызван известными достоинствами этого наиболее распространенного в России пакета САПР. В настоящее время в практике ведущих промышленных предприятий, где в дальнейшем работают студенты технических ВУЗов, реализуются новые подходы к проектно-конструкторским работам, где в основу положены технологии геометрического моделирования, технологии 3D. Анализ систем геометрического моделирования САПР различных уровней (от ориентированных на персональные компьютеры до специализированных рабочих станций) показывает, что в настоящее время наблюдается смена традиционных представлений о процессе проектирования. При этом изменении идеологии конструирования переход от традиционных методов выполнения графических работ («электронного» кульмана) к полноценному трехмерному геометрическому моделированию, с одной стороны открывает новые возможности по использования графики в процессе конструирования, а с другой стороны, представляет конструктору повышенные требования к его «геометрическому» интеллекту. В таких условиях необходимо готовить конкурентоспособных специалистов, эффективно применяющих различные САПР и 3D–геометрические технологии проектирования для решения задач в области своей профессиональной деятельности. В основе трехмерного геометрического моделирования лежит возможность быстро создавать сложные объемные элементы [3].

6.png

Приведем алгоритм выполнения детали по чертежу «Стойка» средствами 3D-технологий (рис.6).

Рис.2. Чертеж «Стойка» – вариант задания для получение геометрической модели

Приводим алгоритм выполнения варианта задания «Стойка» в 3D технологии:

6.png

1) Создаем контур для основания


6.png

2) Объединяем полученный контур в области (шесть областей)
3) Вычитаем области отверстий из областей основания


6.png


 4) Выдавливаем полученную область на высоту

6.png

5) Создаем контур для стойки
6) Объединяем полученный контур в область
7) Выдавливаем область на высоту

6.png

6.png

8) Создаем контур для ребра жесткости
9) Объединяем полученный контур в область
10) Выдавливаем область на высоту


6.png

11) Моделируем прилив

6.png

12) Сопрягаем ранее полученные тела согласно чертежа детали

6.png

13) Объединяем сопряженные тела в единую твердотельную модель


6.png

14) Моделируем бобышку

6.png


15) Моделируем отверстие под штифт в стойке

6.png

16) Создаем контур для условного изображения резьбового отверстия

6.png

17) Объединяем полученный контур в область

6.png

18) Вращаем область на 360˚

6.png

19) Моделируем отверстие под штифт в основании

20) Сопрягаем тела согласно чертежа детали

6.png


6.png

21) Вычитаем сопряженные тела из ранее полученной твердотельной модели

6.png

22) Скругляем ребра модели

В основе трехмерного моделирования лежит возможность быстро создавать сложные объемные элементы. Любой такой объект состоит из совокупности простых элементов, объединенных по определенным правилам. Трехмерное проектирование – качественно новый уровень выполнения проектных работ. Меняется не только процесс проектирования, меняется подход к работе. Трехмерное моделирование проектируемого объекта позволяет работать над этим объектом сразу группе специалистов. Каждый специалист обязан выполнять предписанные ему операции, поскольку от его действий зависят смежные участники процесса проектирования. Затраты времени на создание моделей проектируемого объекта в дальнейшем компенсируются более быстрой их корректировкой. Результат проектирования (разрезы, виды и др.) обобщается на основе максимально законченной модели, что существенно сокращает время выпуска проектной документации [4].

Список литературы:

  1. Гардан И., Люка М.  Машинная графика и автоматизация проектирования: Пер. с франц. – М.: Мир, 1987. –227 с., ил.
  2. Фокс А. , Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. –304 с., ил.
  3. Лагунова М.В. Формирование графо-аналитических умений с использованием информационных и коммуникационных технологий. Монография / М. В. Лагунова, И. А. Ширшова: Федеральное агентство по образованию, ГОУ ВПО "Волжский гос. инженерно-пед. ун-т". Нижний Новгород, 2010
  4. 3D – технологии построения чертежа. AutoCAD / А.Л. Хейфец [и др.]. – 3-е изд., перераб. и доп.; под. ред. А.Л. Хейфеца – СПб.: БХВ – Петербург, 2005. – 256 с.