Информационное письмо
Образец оформления статьи
Анкета автора
11.06.2015

Государственная итоговая аттестация: типичные ошибки учащихся при выполнении заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике и пути их предупреждения

Костюченко Роман Юрьевич
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и методики обучения математике, Омский государственный педагогический университет, г. Омск, Российская Федерация
Нагорная Анастасия Андреевна
студент факультета математики, информатики, физики и технологии, Омский государственный педагогический университет, г. Омск, Российская Федерация
Аннотация: Основной и единый государственные экзамены по математике привносят свои коррективы в методику обучения предмету. Основным аспектом в комплексном подходе к итоговой аттестации является предметная подготовка. Ее содержание, по нашему мнению, обуславливается предупреждением типичных ошибок и затруднений учащихся. В подтверждение этого в статье проводится анализ работ учащихся, выделяются и систематизируются типичные ошибки. На этой основе предлагаются формы работы с учащимися, включающие соответствующие задания.
Ключевые слова: Обучение математике, итоговая аттестация, ГИА, ОГЭ, ЕГЭ, типичные ошибки
Электронная версия
Скачать (493 Kb)

Основная задача, которая стоит перед школьным учителем в контексте подготовки к государственной итоговой аттестации (ГИА), это подготовка учащихся к ее успешному прохождению. Результаты, полученные выпускниками – это и результат освоения ими школьной программы, и оценка работы учителя. Поэтому каждый педагог ищет и применяет в своей работе наиболее эффективные методы, формы, технологии обучения и подготовки к ГИА. Ведущей идеей в этом плане, мы считаем, может служить повышение качества математической подготовки школьников на основе комплексного подхода, в который включается психологическая, методическая и предметная подготовка [2].

В данной статье основное внимание уделим организации предметной подготовки учащихся по математике, основные направления которой, на наш взгляд, обусловливаются предупреждением типичных ошибок и затруднений школьников в решении прототипов заданий основного и единого государственного экзамена.

В рамках пробного тестирования по математике в форме ОГЭ и ЕГЭ, организованного АНО ДО «Сибирский институт непрерывного дополнительного образования», нами проверено более тысячи работ учащихся по математике. На основе проведенного анализа можно утверждать, что полученные учащимися баллы в большинстве случаев могли бы быть значительно выше тех, что выставлены за представленные работы. Это возможно в случае, если школьники более критично отнеслись бы как к приводимым ими ответам, так и к заполнению бланков и записи решения задач с развернутым ответом.

Первое, что бросается в глаза – это неграмотное заполнение бланка с кратким ответом. Приведем примеры:

К заданиям, где требуется установить соответствие, а это соответствие в КИМах предлагается привести в форме таблицы, учащиеся нередко переносят в бланк ответов как «А2Б4В3», или «2,4,3», или «2;4;3», или «2 4 3» вместо верного «243».

Запятую или точку с запятой ученики также часто приводят и в ответах к заданиям, где требуется указать номера верных (неверных) утверждений, в то время, как имеется указание на то, что ответом к этим заданиям является последовательность цифр, записанных в любом порядке без пробелов и использования других символов.

Нередко ученики в бланк ответов вписывают единицы измерения, что нельзя делать, – если единицы длины, веса и т.п. еще можно верифицировать вручную, то знак градусов компьютер может принять и за ноль.

Случается, что задача учащимся решена неверно и в неверном ответе содержится знак радикала – в этом случае следовало бы пересмотреть решение, но школьники упорно пытаются вписать знак арифметического квадратного корня в клетки бланка ответов.

В некоторых работах встречается, что числа написаны небрежно, иногда бывает невозможно понять, что написано 6 или 0, 5 или 6, 1 или 7, 3 или 9. Данное замечание относится и к записи решения задач с развернутым ответом – иногда просто невозможно понять, что написано учеником.

Казалось бы, что перечисленных ошибок, которые можно назвать техническими, при должном внимании можно было бы избежать, однако учащиеся упорно продолжают их делать. Соответственно необходима работа по их предупреждению.

Перейдем к анализу другого вида ошибок, которые назовем содержательными.

Все задания, которые имеют жизненные формулировки, имеют реальные числовые данные, поэтому следует сопоставлять ответ с реальной ситуацией, делать проверку, прикидку результата. Это относится и к «чисто математическим» задачам. Между тем, можно нередко встретить неверные ответы, для которых даже грубая прикидка говорит о их ошибочности. Покажем это на нескольких примерах:

Модуль «Геометрия». В задаче требуется найти высоту равностороннего треугольника со стороной 54√3. Приводимые иногда ответы «9» или «162» значительно меньше или больше верного – для исключения таких ответов достаточно попробовать привести геометрическую конструкцию с данными, которые известны в условии и получены в ответе.

Модуль «Алгебра». Дана задача: «Найдите корень уравнения x2-17x+72=0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них». Число 9, являющееся большим корнем данного уравнения, представляется ошибочно записанным в ответ, но все другие числа, отличные от меньшего второго корня 8 (а их нередко, причем различные, и указывают в ответе), не проходят элементарную проверку подстановкой.

Модуль «Реальная математика». Дано задание: «27 выпускников школы собираются учиться в технических вузах. Они составляют 30% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?». Анализируя условие, получаем, что примерно (немного меньше, чем) треть учащихся есть 27 человек, следовательно в школе примерно (немногим более) 27·3=81 человек, более точно – 90 человек. Понятно, что числа, значительно отличающиеся от 81 в большую сторону или менее 81, вряд ли могут быть ответом задачи. Более того, встречались и работы, в которых ответом к данной задаче указывалось число 8,1, что явно противоречит здравому смыслу.

Следующая группа ошибок в заданиях с кратким ответом связана с невнимательным чтением условия задачи. Вот некоторые примеры:

В одном задании требовалось полученный ответ округлить до целого числа, чего не сделали некоторые учащиеся, записывая верный точный ответ с дробной его частью.

В задании 6 (ОГЭ-2015) требовалось указать номер первого отрицательного члена заданной последовательности. Видится, что приводимый иногда ответ «–3» явно не есть номер члена прогрессии, а сам этот член заданной прогрессии.

В одном задании на чтение графиков (№15 ОГЭ-2015 или №2 профильный ЕГЭ-2015) требовалось по заданному графику указать число месяца, когда впервые выпало ровно 1,5 мм осадков. По графику несложно устанавливается, что 1,5 мм осадков выпадало 9, 11, и 15 числа месяца. Представляется, что читателю самому будет интересно установить причину ошибочного ответа «91115», представленного учащимися.

Задачи с развернутым ответом. К решению этих задач приступают не многие учащиеся. Типы ошибок здесь чаще всего связаны с видом того или иного задания. Отметим, что задания с развернутым ответом предполагают обоснованное решение как в 9-х, так и в 11-х классах. Однако, критерии оценивания этих заданий в данных классах существенно различны по способу выставления баллов. В 11 классе ведется подсчет достижений ученика: выполнил логически законченную часть решения – получил балл, выполнил следующую часть решения – получил еще один балл, и т.д. В 9 классе ведется подсчет неудач ученика: привел верное обоснованное решение – получил максимальный балл за данное задание, незначительно ошибся, но логически привел верное решение – получил балл, на единицу меньше максимального, а если ошибся в одном аспекте, но в других показал разумные рассуждения – решение не соответствует критериям оценивания – ноль баллов. В плане приведенного замечания, учащиеся 11-х классов оказываются в более выгодном положении, чем учащиеся 9-х классов. Последним же при оформлении задачи с развернутым ответом следует быть особо внимательными, чтобы привести согласно критериям проверки «верный обоснованный ответ».

В качестве примера рассмотрим задачу, предлагаемую в 9-ом классе для развернутого ответа, приведем ее решение одним учащимся и комментарии к его решению.

Задача: «На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?».

Решение ученика: «475/x+6=550/(x-3); 2x2-31x-475=0; x1=25, x2= -9,5 – не подходит. Ответ: 25 деталей».

Комментарий. Приведенный ответ совпадает с верным. Уравнение по условию задачи составлено верно, если принять, что x – это число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий. Но привести в решении задачи лишь уравнение с решением – этого недостаточно. Дело в том, что эксперт проверяет правильность составления уравнения и его решение, а затем интерпретацию полученного ответа. По сути здесь мы имеем дело с методикой применения математики к решению задач реальной действительности [3]. Но если учащийся не говорит, что принимается за x, то проверить правильность составления уравнения невозможно: в зависимости от того, какую величину приняли за x, получим различные уравнения. Заметим, что при арифметической ошибке при решении верно составленного уравнения решение оценивается неполным баллом, но при отсутствии пояснения к его составлению, проверить, верно ли оно составлено по условию задачи, невозможно.

В случае арифметического решения задачи (по действиям) необходимо давать пояснения каждому действию. Иначе получаем, что ученик складывает, вычитает, умножает, делит числа, в итоге получает некоторое число, которое записывает в ответ. Это число, конечно, может и совпадать с верным ответом, но верны ли при этом размышления? Подчеркнем, эксперт не должен додумывать за ученика, он проверяет верность решения.

Иногда ученики приводят пояснение к составлению уравнения в форме таблицы – это выбор учащегося, но при этом сам учащийся должен понимать, что его запись должна быть понятна не только ему, но и проверяющему. В случае с оформлением решения текстовой задачи, как и методикой обучения решению текстовых задач полезно руководствоваться разработанной методикой [1]. Думаем, размышляющий ученик здесь согласится, что запись решения текстовой задачи с помощью составления уравнения следует начинать словами: «Пусть x – это…».

Подводя промежуточный итог, отметим, что ошибки и недочеты учащихся, которых легко избежать, часто связаны с небрежным заполнением бланка ответов, невнимательностью чтения условия задачи, отсутствием элементарной проверки ответа как по смыслу, так и приближенными вычислениями. Для задач с развернутым ответом характерно то, что учащиеся приводят неполное доказательство/решение, путают доказанное с недоказанным, при доказательстве используют вместо общих частные случаи, в решении часто отсутствуют пояснения или необходимые ссылки, из-за чего проверяющий не в состоянии положительно оценить работу.

Соответственно, теперь можно указать и основные направления предметной подготовки учащихся по математике к прохождению итоговой аттестации: устные упражнения, письменное решение соответствующих задач на уроке и дома, организация промежуточного и итогового контроля.

Устные упражнения. Анализ неверных ответов при решении задач ГИА указывает на низкую вычислительную культуру учащихся. Развитие скорости устных вычислений и преобразований, а также развитие навыков решения простейших задач «в уме» является важным моментом подготовки ученика к итоговой аттестации.

При соответствующей работе с устными упражнениями учащиеся приобретают не только вычислительные навыки, но и усваивают общие и специальные методы решения задач, учатся верно размышлять при их анализе и поиске решения.

Так, например, анализ формулировки рассмотренного выше задания «Найдите корень уравнения x2-17x+72=0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них» нацеливает на то, что уравнение, скорее всего, либо имеет два корня, либо в ответе появляется посторонний корень. И если в данном задании необходимо установить наличие второго корня, то, скажем, в задании «Найдите корень уравнения x2-8=(x-4)2» достаточно подбором найти x=3 и записать ответ. Как видим, сравнение формулировок заданий позволяет осознанно применить различные методы решения и получить требуемый ответ. Отметим, что обучать учащихся сравнению необходимо систематически и целенаправленно, постепенно формируя соответствующий прием [4].

В процессе письменного решения задач на уроке и дома ученик не только учится верно решать, грамотно описывать само решение, но и знакомится со структурой самого теста, обобщает и систематизирует типы заданий и способов их представления. Например, следующие разновидности задания приводят в итоге к единому способу его выполнения (это решение уравнения f '(x)=1): «Найдите абсциссу точки, в которой тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x)=3x2-5x+1, равен 1»; «К графику функции f(x)=3x2-5x+1 в точке с абсциссой x0 проведена касательная, угловой коэффициент которой равен 1, найдите x0»; «Прямая у=x-3 параллельна касательной к графику функции f(x)=3x2-5x+1, найдите абсциссу точки касания»; «Найдите абсциссу точки, в которой касательная, проведенная к графику функции f(x)=3x2-5x+1, наклонена под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс».

При решении типовых заданий КИМов учащиеся овладевают и спецификой решения этих заданий [5]. Так, решение задач первой части предъявлять не нужно, поэтому и оформлять его подробно, как это обычно требуется на уроке, не имеет смысла, здесь важен лишь верный ответ.

Приведем в качестве примера рассуждения ученика при решении следующей задачи, предполагающей краткий ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби: «Найдите наименьшее значение функции y=(8-x)∙e9-x на отрезке [3; 10]». Ответ ученика поражает своей простотой, примитивностью и верностью результата: «Наименьшее значение функции равно –1, так как y(8)=0, y(9)= –1, при других значениях аргумента мы не сможем записать ответ в предложенные клеточки». Да, за такими рассуждениями теряется закладываемая составителем математическая суть предложенного задания, однако, если ученик обоснованно и осознанно приводит рассуждения, приводящие к верному результату, то не является ли это шагом вперед по отношению к тому, что ученик применяет известный ему алгоритм в знакомой ситуации? Оставим этот вопрос риторическим.

В оформлении задач с развернутым ответом решение должно быть математически грамотным и полным, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Оформление решения должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в остальном может быть произвольным. Задания этой группы разнообразны, но при этом тематика каждого определенного номера задания определена – в этих условиях целесообразны уроки обобщения и систематизации знаний, это также могут быть «уроки одной задачи», уроки-практикумы по решению цепочек взаимосвязанных задач и т.п.

Обязательным компонентом образовательного процесса, с помощью которого определяется достижение поставленных учебных целей, является диагностика результатов обучения. На наш взгляд, целесообразным здесь будут два направления, когда ведется учет достижений каждого ученика по различным разделам курса математики (зачетные листы, диагностические карты и т.п.), а также и учет достижений классного коллектива, в чем немаловажную помощь могут оказать электронные образовательные ресурсы.

В заключение, отмечая важность решения различных вариантов тестов, подобных демонстрационному варианту, обратим внимание на то, что сами тесты в большей степени предназначены для измерения уровня знаний учащихся, а не его приращению, поэтому следует обучать самой математике, а не решению тестов по математике.

Список литературы:

  1. Далингер В.А. Текстовые задачи на проценты, смеси, сплавы и концентрацию: учеб. пособие. – Омск, ОмГПУ, 2006. – 171 с.
  2. Костюченко Р.Ю. Методические аспекты подготовки обучающихся к ЕГЭ по математике // Актуальные проблемы методики обучения математике: сборник материалов региональной научно-практической конференции / Под. ред. М.В. Дербуш, С.Н. Скарбич. – Омск: Амфора, 2010. – С. 215-220.
  3. Костюченко Р.Ю. Обучение основам математической обработки информации: содержательный аспект / Р.Ю. Костюченко // Вестник Северного (Арктического) федерального университета. Серия «Гуманитарные и социальные науки». – Архангельск: Изд-во САФУ им. М.В. Ломоносова. – 2014. – № 4. – С. 164-172.
  4. Скарбич С.Н. Как научить учащихся приему сравнения в процессе обучения математике // Теоретические и практические вопросы науки XXI века: сборник статей Международной научно-практической конференции / Отв. ред. А.А. Сукиасян Уфа, 2015. – С. 220-222.
  5. Солонин Е.В. Тестирование как средство управления процессом формирования у учащихся системы качеств знаний по математике: дис. … канд. пед. наук. – Омск, 2004. – 186 с.