Информационное письмо
Образец оформления статьи
Анкета автора
23.01.2017

Геометрия манипулятора вида впвпвп-1, Часть 1

Коновалов Александр Александрович
студент Аэрокосмического факультета, кафедра Авиационные двигатели. Пермский национальный исследовательский политехнический университет г. Пермь, Россия
Аннотация: Механическую основу манипуляторов, роботов и автооператоров составляют пространственные семизвенные незамкнутые механизмы с вращательными или поступательными парами, которые кратко называют манипуляторами. Существует сорок два вида манипуляторов, конечное звено которых имеет шесть степеней свободы в некоторой части пространства.
Ключевые слова: манипулятор, кинематическая схема, звено, перемещение
Электронная версия
Скачать (1.18 Mb)

На рисунке 1 изображена в аксонометрии кинематическая схема манипулятора с чередующимися тремя вращательными и тремя поступательными парами. Стойка — первое звено манипулятора — Oxyz. Второе звено ОА образует со стойкой первую вращательную пару, вдоль оси которой направлены орт 1.png  и ось Oz; точка А расположена на оси Oz. Третье звено (AB, 2.png) образует со вторым звеном первую поступательную пару, обеспечивающую перемещение точки B вдоль прямой OA; четвертое звено (ВС, 2.png) с третьим звеном образует вторую вращательную пару, вдоль оси которой направлен орт , перпендикулярный к отрезкам AB и ВС. Пятое звено CD с четвертым звеном образует вторую поступательную пару, обеспечивающую перемещение точки D вдоль прямой ВС. Шестое звено (DE, 3.png) образует с пятым звеном третью вращательную пару, вдоль оси которой направлен орт 3.png, расположенный на прямой СО и перпендикулярный к отрезку DE. Седьмое звено ENx6y6z6 образует с шестым звеном третью поступательную пару, обеспечивающую пере­мещение точки N вдоль прямой DE. Седьмое звено называ­ется конечным, или рабочим, так как на нем устанавли­вают вспомогательный механизм с инструментом для выполнения производственного задания. С седьмым звеном связана координатная система Nx6y6z6, оси которой изображены на рисунке 1, Ось Nxb расположена на продолжении отрезка EN, а ось Nz6 параллельна орту . Ось Ny6 направлена так, чтобы образовалась правая прямоугольная координатная система Nx6y6z6. Для исследования геометрии описанного манипуля­тора использован графоаналитический метод.

Рисунок 1 – Кинематическая схема манипулятора

Рисунок 1 – Кинематическая схема манипулятора

На рисунке 2 построены ортогональные проекции кинематической схемы манипулятора по данным постоянным параметрам и заданным значениям переменных параметров. Для этого использованы четыре плоскости проекций: первая, параллельная xOy; вторая, параллельная xOz; третья, перпендикулярная к первой и параллельная плоскости треуголь­ника OBD; четвертая, перпендикулярная к третьей и орту 3.png. Еще две дополнительные плоскости проекций введены для определения углов ϑ и φ поворота координатной системы Nx6y6z6вокруг точки N относительно стойки. Рисунок 2 является логической схемой для вывода аналитических зависимостей, позволяющих вычислить с любой степенью точности значе­ния неизвестных переменных параметров манипулятора.

Рисунок 2 - Ортогональные проекции кинематической схемы манипулятора

Рисунок 2 - Ортогональные проекции кинематической схемы манипулятора

Постоянными параметрами рассматриваемого манипулятора являются указанные условия относительного расположения отрезков и ортов, а также размеры звеньев r1 = OA; r2 = BC; r3 = DE, Манипулятор имеет шесть независимых пе­ременных параметров: φ1 – угол поворота второго звена от­носительно стойки; φ2 – угол поворота четвертого звена отно­сительно третьего; φ3 – угол поворота шестого звена относи­тельно пятого; p1 — длина отрезка AB; p2 -длина отрезка CD; p3 — длина отрезка EN. Кроме того, рассматриваются шесть переменных параметров конечного звена; три координаты точки N и три независимых угла ψ,ϑ,φ поворота конечного звена вокруг полюса N.

Прямая задача геометрии манипулятора заключается в определении переменных параметров конечного звена по заданным постоянным параметрам манипулятора и значе­ниям φ1, φ2, φ3, p1, p2, p3. Эта задача решена графически на рисунке 2 при конкретных условиях, когда: φ1>0, φ2>0, φ3<0. На чертеже видны зависимости между параметрами манипулятора. Выразим эти зависимости ана­литически.

Сопоставляя первую и третью проекции отрезков OB и OD, получаем:

6.png

Зная координаты точек N и D, расположенных на одной прямой с осью Nxb, сразу получаем по рисунку 2 формулы для вычисления углов φ и ϑ с учетом их знаков:

7.png

Подставляя сюда (1) и (2), находим

8.png

Для вычисления угла φ обозначим на рисунке 2 вспомогатель­ные точки: М, P, Q, R, S, Т. По чертежу получаем зависи­мость

9.png

Аналогично получаем

10.png

Окончательно

11.png

Обратная задача геометрии манипулятора заключается в определении переменных параметров φ1, φ2, φ3, p1, p2, p3 по заданным постоянным параметрам манипулятора и значе­ниям шести параметров его конечного звена.

По одному из условий ось Nz6 параллельна орту 3.png, расположенному в плоскости σ треугольника OBD. Направление оси Nz6 зависит от углов ψ, ϑ, φ, а уравнение прямой Nz6 можно записать в виде 

12.png

Из параллельности плоскости и прямой N выводим уравнение плоскости σ:

13.png

Обозначим приравненные здесь отношения буквой t и с помощью этого вспомогательного параметра решим систему трех уравнений (5) и (6) относительно х, у, z:

14.png

Из уравнения (5), которому удовлетворяют координаты точки D, получаем

15.png

Формула (8) однозначно определяет угол в пределахего изменения от – 180 до 180°.

Вычисляя длину отрезка ND по формулам (7), получаем

16.png

Точка B кинематической схемы манипулятора располо­жена на пересечении линии действия орта с осью Оz. От­сюда определяем положение точки В. Записываем уравнение прямой, параллельной Nz6 и проходящей через точку D:

17.png

По третьей проекции кинематической схемы на рисунке 2 получаем формулу для вычисления угла φ2, изменяющегося в пределах от 0 до 180°:

18.png

19.png

20.png

Здесь NIVK=NIL и представляет собой расстояние от точки N до плоскости σ в пространстве. Это расстояние можно вычислить c помощью уравнения плоскости σ (5) и координат точки N. Преобразуем уравнение (5) к нормальному виду: 

21.png

Принимая во внимание конкретные значения параметров (смотри рисунок 2), получаем

22.png

Наличие формул, решающих прямую и обратную задачи геометрии манипулятора, позволяет программировать и авто­матизировать работу этого манипулятора.

Список литературы:

1. Ананов Г. Д„ Смирнов Д. М. Классификация манипуляторов. – «Труды ЛИТМО», 1974, вып. 77, с. 64— 70.

2. Ананов Г. Д. Кинематика пространственных шарнирных механизмов сельскохозяйственных машин. М.: Машгиз, 1963.