Информационное письмо
Образец оформления статьи
Анкета автора
08.09.2014

Метод экстремально-корреляционного смещения коэффициентов при множественном регрессионном анализе многофакторных систем

Иванов Дмитрий Викторович
магистрант 1-го курса Тольяттинский государственный университет, Тольятти, Российская Федерация
Аннотация: В статье изложен метод построения математических моделей обобщенного синхронного генератора с независимыми фазами, полученной методом корреляционно-регрессионного анализа с применением центрально-композиционного планирования. Коэффициенты уравнений регрессии найдены по методу экстремально-корреляционного смещения коэффициентов с проверкой на статистическую адекватность. Произведена проверка математической модели на физическую адекватность с помощью метода факторно-плоскостного пространственного проецирования.
Ключевые слова: синхронный генератор, электротехника, математическая модель, алгоритм факторно-плоскостного пространственного проецирования, метод экстремально-корреляционного смещения коэффициентов
Электронная версия
Скачать (1 Mb)

Исследование технических систем как объектов регулирования возможно проводить тремя методами: активного экспериментального исследования, эмпирического исследования и посредством имитационных экспериментальных исследований [1]. В последнем случае используются известные эмпирические выражения для получения детерминированной части математической модели. Наиболее перспективным и экономически выгодным является получение экспериментальных данных с использованием методов планирования эксперимента [2].

В случае планирования экспериментальных исследований производится анализ исследуемой функции в зависимости от изменения внешних факторов. Для анализа синхронного генератора с независимыми фазами исследуемой функцией является ток нагрузки Iн, внешними факторами являются: частота вращения вала генератора, n, сопротивление нагрузки, Rн, индуктивность нагрузки, Lн, ток возбуждения цепи якоря, Iв [3].

Поэтому математическую модель двигателя в статическом режиме работы следует искать в виде зависимости Iн=f(n,Rн,Lн,Iв).

После получения экспериментальных данных необходимо провести их анализ, для получения уравнения регрессии. Для двигателя постоянного тока синтез идентификационной модели в статическом режиме работы осуществлялся с помощью программы множественного нелинейного регрессионного анализа, которая позволяет определить коэффициенты

1.png

однако, метод наименьших квадратов в случае большого числа факторов, существенного разброса диапазонов изменения внешних факторов является малоэффективным при использовании центрально-композиционного ротабельного планирования эксперимента. Применение же линейных планов или планов более высокого порядка не приводит к повышению точности моделирования. Проведя анализ методов получения [4], выявили ряд конечных выражений метода наименьших квадратов, для получения коэффициентов уравнения регрессии, которые являются константами.

Взамен метода наименьших квадратов, был разработан метод экстремально-корреляционного смещения коэффициентов, блок-схема которого представлена на рис.1. Суть метода заключается в смещении коэффициентов, полученных по конечным выражениям метода наименьших квадратов при решении системы нормальных уравнений (2), считающихся константами [4].

2.png

Рис.1. Блок-схема метода экстремально-корреляционного смещения коэффициентов 

Рис.1. Блок-схема метода экстремально-корреляционного смещения коэффициентов 

4.png

После начала смещений определяется адекватность модели по программе, блок-схема которой представлена на рис.2. Изменение критерия Фишера при смещении какого-либо из коэффициентов имеет экстремальный характер.

Программа проверки модели на адекватность также включает в себя вычисление коэффициентов уравнения квадратичной регрессии, вычисление дисперсий воспроизводимости и адекватности. Блок-схема метода нахождения коэффициентов уравнения регрессии по конечным выражениям метода наименьших квадратов [4] представлена на рис.3. Проверка дисперсий на однородность производится по G - критерию Кохрена [1,4], проверка модели на адекватность осуществляется по F - критерию Фишера [1,2,4], однако в данном случае не применяется t-критерий Стьюдента. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии осуществляется по специально разработанному для этих целей t – критерию Радона-Никодима, который предназначен для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии, при исследовании технических систем как объектов регулирования.

Рис. 2. Блок-схема проверки модели на адекватность 

Рис. 2. Блок-схема проверки модели на адекватность

Рис.3. Блок-схема метода нахождения коэффициентов уравнения регрессии

Рис.3. Блок-схема метода нахождения коэффициентов уравнения регрессии

 7.png

В результате проведения экспериментальных исследований, статистической обработки данных и регрессионного анализа была получена идентификационная модель обобщенного синхронного генератора с независимыми фазами в статическом режиме работы, коэффициенты которого были получены по методу экстремально-корреляционного смещения коэффициентов.

Модель генератора представляет собой функцию тока нагрузки, от различных внешних и внутренних факторов, получена и имеет вид:

8.png

Проверка модели осуществлялась с применением критериев Кохрена, Стьюдента и Фишера.

С точки зрения законов математической статистики полученные математические модели абсолютно адекватны и описывают исследуемые процессы с достаточно высокой точностью [1,2,4]. Однако, проверить изменение исследуемой функции во всех диапазонах изменения внешних факторов при использовании центрального композиционного ротабельного планирования не представляется возможным, поскольку исследуется изменение исследуемой функции при значении фактора в звездном плече, когда значения остальных факторов остаются в центре плана. Исследование на физическую адекватность математической модели обобщенного синхронного генератора можно провести с помощью метода факторно-плоскостного пространственного проецирования.

На рис.4 представлено пространство точек математической модели полученной по методу наименьших квадратов, а на рис.5 представлено пространство точек математической модели полученной по методу экстремально-корреляционному смещению коэффициентов.

 Рис.4. Пространственная модель синхронного генератора полученная по методу наименьших квадратов

Рис.4. Пространственная модель синхронного генератора полученная по методу наименьших квадратов 

Рис.5. Пространственная модель синхронного генератора полученная по методу экстремально-корреляционного смещения коэффициентов.

Рис.5. Пространственная модель синхронного генератора полученная по методу экстремально-корреляционного смещения коэффициентов.

 Пространственное проецирование заключается в расчете значений исследуемой функции над мнимой факторной плоскостью в точках, во всех диапазонах изменения факторов. Проведя анализ исследуемой функции по методу факторно-плоскостного проецирования можно сделать вывод, что математическая модель, адекватная исследуемым процессам с точки зрения математической статистики, не совсем адекватна с физической точки зрения, поскольку 18,6% пространственно распределенных точек имеет отрицательное значение, что свидетельствует о двигательном режиме работы генератора. Однако, в случае отсутствия применения метода экстремально-корреляционного смещения коэффициентов количество точек в отрицательной области соответствует значительно меньше чем при методе наименьших квадратов, где количество отрицательных точек соответствует 81%.

Таким образом, разработанный метод экстремально-корреляционного смещения доказывает не только применимость, но и лучшее применение в моделировании сложных многофакторных технических систем. Проверку на адекватность которых лучше осуществлять при помощи метода факторно-плоскостного пространственного проецирования.

Список литературы:

1. Чижков Ю.П., Акимов С.В.Электрооборудование автомобилей. Учебник для ВУЗов.- М.:Издательство «За рулем»,1999.-384 с., ил.

2. Барабащук В.И. .Планирование эксперимента в технике. – К.: Техника, 1984. – 200с. с ил

3. А.И. Вольдек. Электрические машины. Издание второе перераб. и доп. - Издательство «Энергия» Ленинградское отделение, 1974.-830 с. с ил.

4. Адлер Ю.П., Маркова Е.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.:Наука, 1971. – 283с.