Информационное письмо
Образец оформления статьи
Анкета автора
08.09.2014

Оценка адекватности моделей методом факторно-плоскостного пространственного проецирования

Иванов Дмитрий Викторович
магистрант 1-го курса Тольяттинский государственный университет, Тольятти, Российская Федерация
Аннотация: В статье изложены методы построения математических моделей обобщенного синхронного генератора с независимыми фазами, полученной методом корреляционно-регрессионного анализа с применением центрально-композиционного планирования. Коэффициенты уравнений регрессии найдены по методу наименьших квадратов с проверкой на статистическую адекватность. Сформулировано понятие физической адекватности. Представлен метод проверки математической модели на физическую адекватность и алгоритм факторно-плоскостного пространственного проецирования исследуемой функции в рабочих диапазонах изменения внешних факторов модели.
Ключевые слова: синхронный генератор, электротехника, математическая модель, алгоритм факторно-плоскостного пространственного проецирования
Электронная версия
Скачать (736.1 Kb)

Современная автомобильная промышленность ставит перед разработчиками автомобильного оборудования ряд задач, решение которых, требует повышения уровня наукоемкости продукции. Для повышения качества и конкурентоспособности отечественных автомобилей необходимо существенно повысить их комфортабельность, при максимальном снижении затрат производства. Системы повышения комфорта автомобиля требуют повышенной энергоэффективности от системы электроснабжения автомобиля в целом и запаса по вырабатываемой электрогенератором мощности. Для решении задачи повышения энергоэффективности системы электроснабжения автомобиля, необходимо проводить подробный анализ потребителей, проводят оптимизацию потребителей, для решения задачи повышенного запаса мощности электрогенератора осуществляют замену генераторной установки, однако в последнее время существенное значение получили высокие массовогабаритные показатели электрооборудования, да и другие узлы автомобиля. Ограниченность в подкапотном пространстве, в салоне автомобиля, приводит разработчиков к поиску менее габаритных решений, с большими мощностными характеристиками, на единицу объема и массы. Для снижения затрат на разработку используются различные методы анализа и моделирования. Подобный анализ можно осуществлять несколькими методами, среди которых: эмпирические исследования, имитационные экспериментальные исследования, активные экспериментальные исследования.

Наиболее эффективными считаются исследования полученные методом активного эксперимента, однако, в случае исследования обобщенного синхронного генератора с независимыми фазами, с широким разбросом диапазонов изменения внешних факторов, проведение активных экспериментальных исследований невозможно, поскольку изменение одного из факторов влечет за собой изменение других факторов. Наиболее эффективным методом анализа экспериментальных данных является корреляционно-регрессионный анализ при соответствующем планировании экспериментальных исследований. Математические модели, полученные по методам корреляционно-регрессионного анализа представляют собой уравнение регрессии, т.е. зависимость исследуемой функции от внешних факторов.

Для обобщенного генератора исследуемой функцией, чаще всего, является ток отдачи I, внешними факторами являются: частота вращения вала генератора, n, сопротивление нагрузки, Rн, индуктивность нагрузки, Lн, ток возбуждения цепи якоря, Iв [3].

Планирование экспериментальных исследований позволяет свести количество опытов к минимальному значению, для снижения времени исследований. В результате проведенных исследований выявлено, что линейные планы первого порядка не позволяют описать процессы, происходящие в синхронном генераторе, поскольку коэффициенты уравнения регрессии сильно отличаются друг от друга и смещены от центра плана. Основываясь на вышеизложенном, наиболее правильным будет повышение порядка уравнения регрессии, т.е. использование центрально-композиционного ротабельного планирования второго порядка. 

1.png

Выбрать оптимальную форму уравнений регрессии можно методом исключения переменных, при этом, необходимо вычислить абсолютную и относительную ошибку аппроксимации в заданной точке [4].

Первый этап анализа состоит в получении так называемой квадратичной формы, которая отличается от линейной формы наличием последней группы коэффициентов (1). На этом этапе производится определение коэффициентов модели ОР в полиноме. Коэффициенты уравнения регрессии находятся по методу наименьших квадратов с помощью решения системы нормальных уравнений:

1.png

При этом программа вычисляет дисперсию воспроизводимости и осуществляет проверку дисперсий на однородность, по G - критерию Кохрена, в результате чего принимается решение о соответствии количества повторов по каждому опыту планируемого эксперимента. После проведенных исследований было выявлено, что количество повторов каждого опыта должно быть не менее пяти. Далее находится дисперсия адекватности, дисперсия воспроизводимости и F - критерий Фишера, F - критерий показывает, во сколько раз уравнение регрессии предсказывает результаты опытов лучше, чем среднее и определяется как отношение остаточной дисперсии к дисперсия среднего с числом степеней в числителе

 1.png

Выбор оптимальной формы уравнения регрессии методом исключения переменных в программе множественного нелинейного регрессионного анализа проводится в диалоговом режиме. При этом исключение начинается с фактора, имеющего наименьший критерий Стьюдента. На каждом этапе, после исключения каждого фактора для нового уравнения регрессии программа вычисляет остаточную дисперсию адекватности и F - критерий. Исключение факторов прекращает пользователь обычно тогда, когда остаточная дисперсия начинает увеличиваться.

В результате проведения экспериментальных исследований, статистической обработки данных и регрессионного анализа была получена идентификационная модель автомобильного синхронного генератора с независимыми фазами в статическом режиме работы, коэффициенты которого были получены по методу наименьших квадратов.

Модель генератора представляет собой функцию тока нагрузки, от различных внешних и внутренних факторов, получена и имеет вид:

1.png

Проверка модели осуществлялась с применением критериев Кохрена, Стьюдента и Фишера.

С точки зрения законов математической статистики, полученная математическая модель абсолютно адекватна и описывает исследуемые процессы с достаточно высокой точностью. Квадратичные значения по индуктивности и току возбуждения были отброшены как незначимые.

Рис.1. Блок-схема метода факторно-плоскостного пространственного проецирования

Рис.1. Блок-схема метода факторно-плоскостного пространственного проецирования

 Однако проверить изменение исследуемой функции во всех диапазонах изменения внешних факторов при использовании центрального композиционного ротабельного планирования не представляется возможным, поскольку исследуется изменение исследуемой функции при значении фактора в звездном плече, когда значения остальных факторов остаются в центре плана.

Для принятия решения о достоверности математической модели достаточно проверить значение функции во всех диапазонах изменения факторов, т.е. определить физическую адекватность модели.

Для проверки математической модели на физическую адекватность и графической визуализации исследуемой функции во всех диапазонах изменения внешних факторов был разработан метод факторно-плоскостного пространственного проецирования. Блок-схема, которого, представлена на рис. 1. В основе данного метода лежит факторно-плоскостное проецирование осей изменения внешних факторов на мнимую плоскость. Оси факторов располагаются в первом квадранте мнимой плоскости, нулевые точки координатных осей факторов совмещается с нулевой точкой координатных осей мнимой плоскости. Оси факторов располагаются друг относительно друга со смещением на угол
2.png
Рис.2. Факторно-плоскостное проецирование осей изменения факторов на мнимую плоскость

Рис.2. Факторно-плоскостное проецирование осей изменения факторов на мнимую плоскость

Рис.3. Проекция точек на мнимую факторную плоскость для модели обобщенного синхронного генератора с независимыми фазами

Рис.3. Проекция точек на мнимую факторную плоскость для модели обобщенного синхронного генератора с независимыми фазами

 5.png

Проекция точек на мнимую факторную плоскость для модели обобщенного синхронного генератора представлена на рис.3.

Пространственное проецирование заключается в расчете значений исследуемой функции над мнимой факторной плоскостью в точках, во всех диапазонах изменения факторов. Пространственное распределение точек исследуемой функции представлено на рис.4. Пространственное распределение получено при использовании программы Matlab 6.0.0.88Release12.

Проведя анализ исследуемой функции по методу факторно-плоскостного проецирования можно сделать вывод, что математическая модель, адекватная исследуемым процессам с точки зрения математической статистики, вовсе не адекватна с физической точки зрения, поскольку более 81% пространственно распределенных точек имеет отрицательное значение, что свидетельствует о двигательном режиме работы генератора.

Рис.4. Пространственное распределение точек исследуемой функции тока нагрузки для синхронного генератора с независимыми фазами

Рис.4. Пространственное распределение точек исследуемой функции тока нагрузки для синхронного генератора с независимыми фазами

Таким образом, можно сделать вывод о полезности полученной математической модели, а также получить графическое представление о возможном наличии граничных условий.

Список литературы:

1. Чижков Ю.П., Акимов С.В.Электрооборудование автомобилей. Учебник для ВУЗов.- М.:Издательство «За рулем»,1999.-384 с., ил.

2. Барабащук В.И. .Планирование эксперимента в технике. – К.: Техника, 1984. – 200с. с ил

3. А.И. Вольдек. Электрические машины. Издание второе перераб. и доп. - Издательство «Энергия» Ленинградское отделение, 1974.-830 с. с ил.

4. Адлер Ю.П., Маркова Е.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.:Наука, 1971. – 283с.